단리, 복리 이자, 72의 법칙

오늘은 이자를 계산하는 방법인 단리와 복리, 그 중에서도 복리에 대해 자세히 살펴볼까 합니다. 

먼저 여러분이 어떤 은행 상품에 가입을 했는데, 금리가 연4%, 즉 연 수익률이 4%라고 가정을 해보도록 하겠습니다.

그렇다면 이 금액이 원금의 2배로 불어나기 위해서는 얼마의 시간이 필요할까요?

오늘 배울 72의 법칙을 미리말씀드리면, 72를 "수익률"로 나누어주면 원금이 2배가 걸리는 시간을 구할 수 있습니다.

따라서 정답은 18입니다. 18년이 있으면 여러분의 원금이 2배가 됩니다. 

그렇다면, 이제부터 오늘의 내용을 소개하고 이 공식에 대해서 살펴보도록 하겠습니다. 

이자를 계산하는 방법은 '단리'와 '복리'로 나눌 수 있는데, 

단리는 원금에만 이자가 붙는 것이고,

복리는 원금뿐만 아니라 이자에 이자가 붙는 계산법입니다.

복리의 마법

여러분이 만약 100만원을 연 이자 5%짜리에 예금했다고 가정해보도록 하겠습니다.

그렇다면 1년 뒤에는 단리이든 복리이든 세전 기준 105만원이 되어야합니다. 원금에 이자가 5% 붙기 때문입니다. 

여기까지는 단리와 복리의 계산이 같습니다.

그러나, 2년, 3년 해가 거듭될수록 단리 계산의 경우에는 원금에만 이자가 붙기 때문에 100만원을 5%의 이자로 2년을 넣어두면 100 + 5 + 5 = 110만원이 됩니다.

반면 복리의 경우에는 1년뒤 105만원이 된 금액에 대해서 5%가 추가로 붙는 것이기 때문에 100 X (1.05)^2 = 110.25만원이 됩니다. 

이렇게 생각하면 큰 차이가 없어보이지만 시간이 오래 쌓이고나면 차이가 급격히 벌어지기 시작합니다.

계산을 편하게 하기위해, 원금이 1000만원이고 이자가 10%라고 가정해보도록 하겠습니다.

위와 같은 방식으로 계산을 하고나면 2년 뒤에는 단리와 복리는 각각 1200만원과 1210만원이 됩니다.

이제 이 돈들이 20년동안 묶여있다고 가정해보면, 단리의 경우에는 원금1000만원 + 이자 2000만원으로 총 3000만원이 되는 반면, 복리의 경우에는 원금 1000만원 + 이자 5727만원이 되어 총 6727만원이 됩니다.

즉, 복리는 이자에 추가적으로 이자가 붙기 때문에, 시간이 오래 흐를수록 효과가 극대화되는 성질을 가지고 있습니다. 

따라서 저축을 하고싶으면 최대한 빨리하라는 것도 이것과 같은 이유입니다.

최대한 빨리 시작해서 이자에 또 다른 이자가 붙을 수 있도록 시간을 주는 것입니다. 

복리의 힘

예컨데 여러분이 60세에 1억 원을 모으기 위해서 지금부터 4%짜리 금리를 가진 상품을 통해 매월 돈을 모은다고 생각해봅시다.

만약 여러분이 50세라면 저축할 수 있는 시간은 10년이고, 20세라면 40년일 것입니다. 즉 저축기간은 4배가 차이가 납니다.

그러나 50세의 경우 10년 뒤 1억을 모으기 위해 매월 676,862원을 저축해야하고, 20세의 경우에는 40년 뒤 1억을 모으기 위해 매월 84,324원만 저축하면 됩니다.

저축기간은 4배가 차이나지만, 모아야하는 금액은 1/8 수준인 것입니다. 이만큼 복리의 힘은 강력하며, 아인슈타인은 이러한 복리를 가지고 인류 최고의 발명이라고 이야기 하기도 했습니다. 

내 돈은 언제 2배가 될까

그렇다면 복리로 투자나 저축을 한다고 할 때, 원금이 2배가 되는 기간은 얼마일까요?

이를 간편하게 계산하기 위한 방법이 72의 법칙입니다. 

72를 모으고자하는 기간으로 나누면, 원금을 2배로 만들기 위해 달성해야하는 수익률이 나오고 

반대로 72를 수익률로 나누면 원금을 2배로 만들기 위해 저축해야하는 기간이 나옵니다.

이 공식의 증명은 생각외로 간단한데, 연 수익률을 r 이라고 할 때 n년 뒤 수익률은 (1+r)^n 이므로,

원금 A가 2배가 되는 n을 찾기 위해서는 A * (1+r)^n = 2* A 로 부터 n을 구하면 됩니다.

이때 양변에 log를 취해서 계산을 해주면 n = ln2 / ln(1+r) 이 됩니다.

수익률 r이 크지 않을 때에는 ln(1+r) 과 r 이 거의 같은 값을 가지기 때문에 ln2의 근사값인  0.6931을 이용하여 n = 0.6931 / r 이 되고, 수익률을 가지고 계산을 간단히 하기위해 0.6931을 대략 0.72라고 가정하는 것입니다.

예컨데 수익률이 8%, 즉 0.08이 되면 0.72를 0.8로 나누어 9라는 값을 얻을 수 있어 원금이 2배가 되는데에 걸리는 시간은 8시간이 되는 것입니다. 

이는 r 에 대해서도 같은 식이 성립합니다. 

즉, 만약 10년동안 원금을 2배로 만들고 싶다면 72를 10으로 나누어서 매년 약 7.2%의 수익률을 얻어야함을 알 수 있습니다. 

우리가 일반적으로 은행을 통해서 가입하는 예금의 경우에는 복리, 적금의 경우에는 단리이자를 적용합니다.

만약 오피스텔을 가지고 있는데 월세를 받는다면, 단리로 계산된 수익률이겠지요.

주식을 가지고 있는데 배당금을 받아서 배당금을 소비에 사용하면 단리, 재투자를 하게되면 복리가 될 것입니다.

즉 우리 일상생활에서도 어떤 수익률은 단리, 혹은 복리로 계산될 수 있습니다.

오늘은 단리와 복리, 그리고 계산을 간편하게 하기 위한 72의 법칙에 대해서 알아보았습니다. 도움이 되셨으면 좋겠습니다. 감사합니다.